Genug vom Wahlkampf?

Wenden wir uns wieder den wichtigen Dingen des Lebens zu:

Die Kettenregel:

ein Beispiel gefällig?

Bitte sehr:

f(x)=(x3+4)2

Die äußere Funktion ist: g(x)=x2→g′(x)=2x

Die innere Funktion ist: h(x)=x3+4→h′(x)=3×2

Jetzt setzen wir entsprechend in die Formel ein

f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)

f′(x)=2(x3+4)⋅3×2=6×2(x3+4)

Noch Fragen Kienzle?


Oder allgemeiner:
Seien A ⊆ ℝl; B ⊆ ℝm; C ⊆ ℝn; f : B → C differenzierbar; g : A → B differenzierbar.
Nun ist h : A → C, h = f ∘ g ebenfalls differenzierbar und es gilt:
$$J_h(\vec x) = J_{f \circ g}(\vec x) = J_f(\vec g(\vec x)) \cdot J_g(\vec x)$$

Beispiel:
$\vec f(x, y) = \begin{pmatrix}
x + y\\
e^x\\
sin(y)
\end{pmatrix}$, $\vec g(t) = \begin{pmatrix}
t\\
t^2
\end{pmatrix}$, dann ist $\vec h(t) = \begin{pmatrix}
t + t^2\\
e^t\\
sin(t^2)
\end{pmatrix}$
Folglich gilt:
$ J_f(x, y) = \begin{pmatrix}
1 & 1\\
e^x & 0\\
0 & cos(y)
\end{pmatrix}$, $ J_g(t) = \begin{pmatrix}
1\\
2t
\end{pmatrix}$, $ J_h(t) = \begin{pmatrix}
1 + 2t\\
e^t\\
cos(t^2) \cdot 2t
\end{pmatrix}$
Nachrechnen zeigt, dass $J_h(t) = J_f(x, y) \cdot J_g(t)$, mit der Substitution x = t, y = t2

Man kann das auch noch auf Differentialformen erweitern…


Mitja StachowiakMitja Stachowiak
Student
Wolfgang Krenzer

5 Gedanken zu „Genug vom Wahlkampf?

      1. Vielleicht so: Sei p ∈ Parteien, j die Zeit in Jahren, w(p, j) die erwartete Anzahl an Wählern, dann gilt: $\frac{\partial w}{\partial j}(SPD, j) \le 0$ ∀ j ≥ 2016^^

        PS: Cool, MatJax geht auch in Kommentaren

        Aber warum haben wir hier einen Artikel über die Kettenregel???

        1. Vorbereitung aufs Mathe Abi…und mal den Blick über den Tellerrand werfen… und einen Funken Humor versprühen…

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